해당 강의노트는 전북대학교 최규빈교수님 AP2023 자료임

예비학습

$\cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}$

- $\cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}$ 을 증명하라.

$l i m_{n \to \infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$

(증명)

step1: $\cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ 은 원소로 $0$ 을 포함한다.

$\forall n \in N$ : $- \frac{1}{n} < 0 < \frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow \forall n \in N$ : $0 \in (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$

$\Leftrightarrow$ $0 \in (- \frac{1}{1}, \frac{1}{1})$ and $0 \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $\dots$

$\Leftrightarrow$ $0 \in (- \frac{1}{1}, \frac{1}{1}) \cap (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cap \dots$

$\Leftrightarrow$ $0 \in \cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{1}, \frac{1}{1})$

step2: $\cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ 은 원소로 $0$ 보다 큰 임의의 양수를 포함하지 않는다.

포함한다고 가정하자. 즉

$\exists δ > 0$ such that $0 + δ \in \cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$

NOTE: From $δ > 0$ , $\exists N \in N$ such that $0 < \frac{1}{N} < δ$

THUS $δ \notin (- \frac{1}{N}, \frac{1}{N})$ $\Rightarrow$ CONTRADICTION! ( $∵ \cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \subset (- \frac{1}{N}, \frac{1}{N}))$

step3: $\cap_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ 은 원소로 $0$ 보다 큰 임의의 음수를 포함하지 않는다.

Vacuous truth

- $P \Rightarrow Q$ 에서, $P$ 가 틀렸거나 $P$ 를 만족하는 집합이 공집합일 경우 $P \Rightarrow Q$ 라는 명제는 항상 참이되고 이러한 참을 배큐어스 트루 라고 말한다.

- 이해를 돕기 위한 예시

명제1: 최규빈교수보다 나이 많은 학생은 A+를 받지 못했다.
명제2: 최규빈교수보다 나이 많은 학생은 A+를 받았다.

여기에서 명제1,명제2는 모두 참이어야 한다. 그래야 명제1,명제2의 대우는 모두 참이 되며

대우1: A+를 받은 학생은 최규빈교수보다 나이가 적다.
대우2: A+를 받지 못한 학생은 최규빈교수보다 나이가 적다.

두 대우의 합성명제인 아래도 참이 된다.

A+을 받거나 받지 못한 학생은 최규빈교수보다 나이가 적다.

토폴로지

정의

- 정의: $Ω$ 에 대한 부분집합의 모임 $T$ 가 아래의 조건을 만족하면 $T$ 를 $Ω$ 의 토폴로지라고 부른다.

$\emptyset, Ω \in T$
$\forall A, B \in T : A \cap B \in T$ (finite intersection에 닫혀있음)
$\forall A \subset T : (\cup_{A \in A} A) \in T$ (uncoutable union, arbitrary union에 닫혀있음)

- $(Ω, T)$ 를 위상공간 (topological space) 이라고 부른다. 그리고 $T$ 의 원소를 $T$ -open set이라고 부른다.

- 모티브: 실수위에서의 열린구간 $(a, b)$ 의 개념을 추상화하고 싶음. 즉 open interval $\overset{일 반 화}{\to}$ open set 을 하고 싶음. 그리고 이러한 open set 만을 모은 collection $T$ 라는 기호로 표현하고 싶음.

관찰1: $(1, 3) \cap (2, 4) = (2, 3)$ // 2개의 open-interval을 교집합하니 open-interval이 나옴
관찰2: $\cap_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{n}, 3 + \frac{1}{n}) = [1, 3]$ // countable many한 open-interval을 교집합하면 closed-interval이 나옴
관찰3: $\cup_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n}, 3 - \frac{1}{n}) = (1, 3)$ // countable many한 open-interval을 합집합하면 open-interval이 나옴
관찰4: $\cup_{ϵ > 0}^{\infty} (1 + ϵ, 3 - ϵ) = (1, 3)$ // uncountalbe many한 open-interval을 합집합해도 open-interval이 나옴

관찰 1,2를 통해 open-interval은 finte한 intersection에 닫혀있음 을 알 수있다.

관찰 3,4를 통해 arbitrary union에 닫혀있다.

- 왜 open interval을 추상화하고 싶을까?

open interval은 엄청 특이한 성질이 있음. 구간 $(a, b)$ 의 모든 점 $x$ 는 점 $x$ 를 포함하는 (아주 작은) 열린구간 $(x - ϵ, x + ϵ)$ 이 $(a, b)$ 사이에 존재함.
이 성질은 극한의 개념을 정의하기에 매우 유리하다. (따라서 연속, 끊어짐 등을 이해하기에도 좋다)

- $Ω = R$ 일 경우 open-set

$(1, 2)$
$(1, 2) \cup (5, 6)$
$(a - ϵ, a + ϵ)$ , where $ϵ > 0$ and $a \in R$
$\dots$

open-set이라는 것은 open-interval의 일반화

- 체크

$Ω = R$ , $T = {\emptyset, Ω}$ 라고 하자. $T$ 는 $Ω$ 에 대한 토폴로지이며 따라서 $(Ω, T)$ 는 위상공간이 된다.
$Ω = R$ , $T = 2^{R}$ 라고 하자. 그렇다면 $T$ 는 $Ω$ 에 대한 토폴로지이며 따라서 $(Ω, T)$ 는 위상공간이 된다.
그렇지만 우린 이런걸 쓰고 싶은게 아니야 ( $⋆$ )

짧은지식

- 이론: $Ω = R$ 일때 $U = {O : O = \cup_{i = 1}^{\infty} (a_{i}, b_{i}), a_{i} \leq b_{i} \in R}$ 라고 하자. 즉 $U$ 는 open interval의 countable union으로 표현가능한 집합들의 모임이다. 그렇다면 $(R, U)$ 는 위상공간이 된다.

그리고 특별히 이러한 위상 $U$ 를 $R$ 에서의 standard topology, Euclidean topology, 혹은 usual topology 라고 부른다. 사실 $U$ 가 바로 우리가 토폴로지를 정의하는 이유이다 (매우 중요하다는 뜻이에요)

$U$ 의 원소를 원래 엄밀하게는 $U$ -open set이라고 불러야 하지만 이 경우는 $U$ 를 생략하여 open set 이라고 부르기도 한다. 즉 우리가 일반적으로 말하는 “실수 $R$ 에서의 열린집합, 혹은 그냥 열린집합” 은 $U$ -open set을 의미한다.

이 이론이 의미하는 바는 (1) 실수에서의 열린구간의 일반화 버전은 열린집합이며 (2) 열린집합은 열린구간의 가산합집합으로 표현가능하다 라는 뜻이다.

$U$ 를 한글로는 보통위상이라고 표현하기도 하지만 그렇게 널리 사용되지는 않는다. 하지만 따로 지칭할 용어가 마땅치 않아서 나는 그냥 보통위상이라고 부르겠다.

- 이론: $(R, U)$ 를 보통위상공간 (usual topological space) 이라고 하자. 모든 $O \in U$ 는 아래를 만족한다.

$\forall o \in O, \exists a, b \in R$ such that $o \in (a, b) \subset O \dots (⋆)$

참고로 어떠한 집합 $O$ 에 대하여 $(⋆)$ 를 만족하는 원소 $o$ 를 interior point of $O$ 라고 부른다. 따라서 어떤 집합의 모든 원소가 그 집합의 interior point(내점)라면 그 집합은 openset이라고 해석할 수 있다.

저는 나이테정리라고 외웠어요..

- 실수에서의 $U$ -openset 을 정의하는 방법

열린구간의 가산합집합
모든원소가 interior point인 집합

- 위상공간 $(R, U)$ 를 고려하자. 여기에서 $U = {O : O = \cup_{i = 1}^{\infty} (a_{i}, b_{i}), a_{i} \leq b_{i} \in R}$ 를 의미한다. 아래의 사실들을 관찰하라.

모든 열린구간은 열린집합이다.
$(- \infty, a)$ 와 $(a, \infty)$ 는 모두 열린집합이다.
한점의 원소 ${a}$ 는 닫힌집합이다. ( ${a}$ 의 여집합이 열린집합이므로)
$(- \infty, a]$ 와 $[a, \infty)$ 는 모두 닫힌집합이다.
공집합과 $R$ 은 열린집합이다.¹ 따라서 공집합과 $R$ 은 닫힌집합이다.

열린구간의 가산합집합 에 대한 증명

2번 증명 $\cup_{n = 1}^{\infty} (- n, a) = (- \infty, a)$

3번 ${a}$ 는 닫힌집합이라는 것은 ${a^{c}}$ 이 열린집합이라는 것을 의미한다. ${a^{c}} = (- \infty, a) \cup (a, \infty)$ 이고 열린집합의 합집합은 열린집합이다.

4번 $(- \infty, a]^{c} = (a, \infty)$ 이고 우변이 열린집합이므로 성립

5번 $(2, 2) = \emptyset$ 이고 $\cup_{n = 1}^{\infty} (- n, n) = R$ . 공집합과 전체집합은 열린집합이면서 닫힌집합이라고 할 수 있다.

시그마필드 vs 토폴로지

	시그마필드	토폴로지
시작	“길이를 잴 수 있는 집합”이란 개념을 일반화 하고 싶다	“열린구간”의 개념을 일반화 하고 싶다
기호	$F$	$T$
공간	$(Ω, F)$	$(Ω, T)$
원소	$F$ -measurable set, measurable set	$T$ -open set
쓸모없는공간	$(R, 2^{R})$	$(R, 2^{R})$
쓸모있는공간	$(R, R)$	$(R, U)$

$R$ 이 뭔데..?

측도론의 유산

Borel $σ$ -field

- 정의: $(R, U)$ 를 보통위상공간이라고 하자. 아래와 같은 시그마필드를 Borel $σ$ -algebera on $R$ 이라고 한다.

$B (R) := σ (U)$

그리고 $B (R)$ 의 원소를 Borel measurable sets이라고 부른다.

- 참고: 교재에서는 $B (R)$ 를 $R$ 로 표현하기도 한다.

- 이론: 아래와 같은 집합을 고려하자.

$A_{1} := {A \subset R : A is open}$ ²
$A_{2} := {(a, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{3} := {[a, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{4} := {(a, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{5} := {[a, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{6} := {(- \infty, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{7} := {(- \infty, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{8} := {(a, \infty) : a, b \in R, a < b}$
$A_{9} := {[a, \infty) : a, b \in R, a < b}$

아래가 성립한다.

$R := B (R) = σ (A_{1}) = σ (A_{2}) = \dots = σ (A_{9})$

$R$ 의 모든 원소는 르벡메저로 측정 가능

$R = σ (A_{1})$ 의 의미는 open set을 재료로 하여 만들어진 집합은 모두 르벡측도로 잴 수 있다.

(증명??) – 증명까지는 아니고 그냥 설명..

예비학습1: countable union의 countable union은 countable union이다.

$Q^{+} = \cup_{m \in N} (\cup_{n \in N} {m / n})$

예비학습2: “ $σ (A_{1})$ 의 모든원소는 $A_{1}$ 의 원소를 재료로하여 만들수 있다” 라고 표현할 수 있으며, 여기에서 “만들 수 있다” 라는 의미는 $A_{1}$ 의 원소에 가산합집합, 가산교집합, 여집합, 차집합등의 연산을 적용하여 $σ (A_{1})$ 의 원소를 만들 수 있다라는 의미이다.

가산합집합, 가산교집합, 여집합, 차집합 > 가산합집합, 여집합, 그리고 그것을 이용한 합성 연산

예비학습3: 아래의 연산들은 모두 시그마필드에서 닫혀있다.

가산합집합의 가산합집합
가산합집합의 가산합집합의 가산합집합
여집합의 가산교집합의 가산합집합의 차집합
$\dots$

즉 시그마필드는 가산합집합과, 여집합에 닫혀있고 그들의 합성연산에 닫혀있다고 해석할 수 있다.

이제 아래가 성립한다고 가정해보자.

$σ (A_{1})$ 의 모든 원소는 $A_{1}$ 의 원소를 이용하여 만들 수 있다. 즉 $A_{1}$ 의 모든원소에 가산합집합, 여집합, 혹은 그들의 합성연산을 적용하여 $σ (A_{1})$ 의 모든 원소를 나타낼 수 있다.
$A_{1}$ 의 모든 원소는 $A_{2}$ 의 원소를 이용하여 만들 수 있다. 즉 $A_{1}$ 의 모든원소에 가산합집합, 여집합 혹은 그들의 합성연산을 적용하여 $A_{2}$ 의 모든 원소를 나타낼 수 있다.

그렇다면 궁극적으로는 $A_{2}$ 의 원소를 가산합집합, 여집합, 혹은 그들의 합성연산을 적용하여 $σ (A_{1})$ 를 표현할 수 있다는 의미이고 이는 $R = σ (A_{1}) = σ (A_{2})$ 를 의미한다. $R = σ (A_{3}) = σ (A_{4}) = \dots = σ (A_{9})$ 역시 유사하게 따질 수 있다.

- 이론: 위의 이론의 $A_{2}, \dots, A_{9}$ 에서 $R$ 대신에 $Q$ 를 사용해도 성립한다.

- NOTE: $A_{1}, \dots, A_{9}$ 는 모두 파이시스템이다.

르벡메져

- Thm: $Ω = R$ 에 대하여 아래와 같은 collection $A$ 를 고려하자.

$A = {(a, b] : a, b \in R, a < b}$

그리고 아래와 같은 함수 $\tilde{m} : A \to [0, \infty]$ 을 고려하자.

$\tilde{m} ((a, b]) = b - a$

이러한 함수 $\tilde{m}$ 은 $(R, R)$ 에서의 메져 $m : R \to [0, \infty]$ 로 쉽게 업그레이드 가능하며 이 업그레이드 결과는 유일하다.

업그레이된 메저를 르벡메져라고 한다.

(증명)

카라테오도리의 확장정리에 의하여

$A$ 가 세미링임을 체크하고
$\tilde{m} : A \to [0, \infty]$ 이 $A$ 에서 (1) additive (2) $σ$ -subadditive (3) $σ$ -finite 을 만족한다는 사실을 체크하면 된다.

된다. $\tilde{m}$ 이 $σ$ -subaddtive 성질을 가진다는 것을 보이는 것이 어려운데 이는 받아들이자.

- 정의: 위의 이론에 의하여 업그레이드 된 메져 $m$ 을 르벡메져라고 한다.

- 이론: $(R, R)$ 를 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$ 을 이 공간에서의 르벡메져라고 하자. 아래와 같은 집합들의 모임을 생각하자.

$A_{1} := {A \subset R : A is open}$
$A_{2} := {(a, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{3} := {[a, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{4} := {(a, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{5} := {[a, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{6} := {(- \infty, b) : a, b \in R, a < b}$
$A_{7} := {(- \infty, b] : a, b \in R, a < b}$
$A_{8} := {(a, \infty) : a, b \in R, a < b}$
$A_{9} := {[a, \infty) : a, b \in R, a < b}$

$A_{1}, A_{2}, \dots, A_{9}$ 에서의 르벡메져와 그 값이 일치하지만 $R - A_{1}, \dots, R - A_{9}$ 등에서는 일치하지 않는 새로운 메져 $m^{'}$ 은 존재할 수 없다. 즉 르벡메져는 $A_{1}, \dots, A_{9}$ 에서의 값으로 유일하게 결정된다.

(설명)

르벡메져는 $σ$ -finite한 메져이고, $A_{1} \dots A_{9}$ 는 모두 “7wk-파이시스템에서의 확장이론(메져버전)”에 소개된 이론의 조건 1,2를 만족하는 파이시스템이다. 따라서 르벡메져의 값은 $A_{1} \dots, A_{9}$ 에서의 값으로 유일하게 결정된다.

자잘한 내용 모음

생략때문에 헷갈려

- 어떠한 수학교재에서, 아무말 없이 open set 이라고만 하면 보통위상공간 (usual topological space) 으로부터 정의되는 open set을 의미한다. 즉 usual topological space $(R, U)$ 에서 $U$ 의 원소를 의미한다.

- 어떠한 수학교재에서, 아무말 없이 measurable set 이라고 하면 르벡측도로 잴 수 있는 집합을 말한다. 즉 $(R, R)$ 에서의 $R$ 의 원소를 의미한다. 즉 일반적으로 정의하는 “잴 수 있는 집합”에서 “잴 수 있다”는 의미는 “르벡측도로 잴 수 있다”는 의미이다.³ 일반적인 $(Ω, F)$ 에서 $F$ 의 원소는 ${F}-measurable set 이라고 표현해야 옳다.

- 하지만 때에 따라서는 $F$ 의 원소를 그냥 measurable set이라고 부른다.

예시1

여기에서 measuralbe set은 앞에서 정의한 $F$ 의 원소라는 의미이다.

그림1: measurable set에 대한 교재의 언급, 눈치껏 그전의 문맥에서 정의한 $F$ -measurable set을 의미함을 알아들어야 함

- measure, measurable 등의 의미는 눈치껏 알아먹어야 한다.

예시2

일반적으로 measure라는 단어가 사용되면 “르벡측도로 재다”라는 의미를 지칭하는 경우가 많음

그림2: 여기에서 사용되는 “measure”의 의미는 문맥상 “르벡측도로 재다”라는 의미로 해석해야함

예시3

$(Ω, F)$ 를 잴 수 있는 공간이라고 할 때는 meaure의 의미가 꼭 “르벡측도로 재다” 라는 것을 의미하는 건 아님

예시4

비탈리집합이 nonmeasurable set이라는 의미는 르벡측도로 측정불가능한 집합이라는 것을 의미함.

그림3: 여기에서 $N$ 은 비탈리집합을 의미하며 여기에서 “nonmeasurable” 이라는 뜻은 르벡메져로 측정불가능한 집합이라는 의미

토폴로지와 측도론의 논리전개

- 토폴로지와 측도론을 공부하면서 비슷한점이 있다고 느낌

- 비슷한점1: 모두 어떠한 속성을 가지는 집합을 “일반화” 하기 위해서 생겨났다. 예를들면, 잴 수 있는 집합이라는 것은 “수직선에서 길이를 잴 수 있는 집합”의 개념을 일반화하고 싶었어서 만들었으며, 열린집합이라는 것은 “수직선에서의 열린구간”이라는 개념을 일반화하고 싶어서 만들었다.

- 비슷한점2: 따라서 “잴 수 있는 집합들의 모임”, “열린집합들의 모임” 이라는 집합들의 집합이라는 장치를 고안하였다. 그리고 이러한 과정에서 일반적인 “길이(length)를 잴 수 있는 집합”의 속성, “열린구간”의 속성을 모아 “잴 수 있는 집합의 모임”, “열린집합의 모임” 을 정의하는 재료로 사용하였다.

- 비슷한점3: “잴 수 있는 집합들의 모임”, “열린집합들의 모임”의 원소를 각각 $F$ -mesurable set, $T$ -open set이라고 부르는 것도 유사하다.

- 비슷한점4: $Ω = R$ 에 대한 시그마필드와 토폴로지가 각각 $R$ 이거나 $U$ 이라면 그냥 잴 수 있는 집합, 열린 집합 이라고 부르는 것도 유사하다.

- 비슷한점5: 비슷한점4의 경우를 제외하고는 $F$ -mesurable set, $T$ -open set이라고 부르는게 원칙인데 이것도 문맥에 따라서 그냥 생략하고 쓰는 것도 유사하다. (사실 매번 언급하는게 귀찮기는 해)

- 비슷한점6: 일반화의 과정에서 발생하는 이상한 개념의 충돌이 존재한다.

잴 수 있는 집합의 모임을 $(R, 2^{R})$ 로 설정하면 비탈리집합도 잴 수 있다. (그렇지만 $(R, R)$ 에서는 비탈리집합이 잴 수 없는 집합이므로 보통 책에서는 “잴 수 없는 집합”이라고 배운다)
열린집합의 모임을 $(R, 2^{R})$ 로 설정하면 한점만 포함하는 집합 ${x}$ 는 열린집합이 된다. (그렇지만 $(R, U)$ 에서는 한점만 포함하는 집합은 닫힌집합이므로 보통 책에서는 “한점만 포함하는 집합은 닫힌집합이다” 라고 배운다.

제 생각: 사실 이는 일반화 과정이 겪는 불가피한 문제인듯 해요. “문자, 그림, 기호 따위를 쓸 수 있는 도구” 정도로 펜슬의 의미를 확장하면 손가락도 펜슬이 되고, 발가락도 펜슬이 됩니다.

- 비슷한점7: 열린집합과 토폴로지, 잴수있는 집합과 시그마필드를 정의하는 두가지 루트가 존재한다.

루트1: 토폴로지를 먼저 정의하고 토폴로지의 원소가 열린집합이라고 정의한다. 혹은 시그마필드를 먼저 정의하고 시그마필드의 원소가 잴 수 있는 집합이라고 정의한다.
루트2: 열린집합을 정의하고 (집합의 모든 원소가 interior point이면 열린집합), 열린집합의 모임으로 토폴로지를 정의한다. 혹은 잴 수 있는 집합을 정의하고, 잴 수 있는 집합의 모임으로 시그마필드를 정의한다.

확률공간과 용어들

- 동전예제에서의 확률공간 $(Ω, F, P)$ 를 가정하고 용어를 정리해보자.

outcomes: $H$ , $T$
set of “outcomes”: $Ω = {H, T}$
event: $\emptyset$ , ${H}$ , ${T}$ , ${H, T}$
set of “events”: $F$
probabilites: $P : F \to [0, 1]$

- 교재의 언급